Если бы диаграмма укорочений сжатого стержня обладала неограниченной площадкой текучести, подобно тому, как мы принимаем для растянутого стержня, то расчет статически неопределимой фермы по предельному состоянию можно было бы вести тем же путем, как и расчет балочно-рамных систем.
Достаточно было бы задаться уравновешенным распределением усилий при предельной нагрузке и подобрать сечения стержней, пользуясь одними только уравнениями равновесия. Именно так предлагал в свое время рассчитывать статически неопределимые фермы профессор кафедры строительной механики Завриев.
Действительная работа фермы в этом случае состояла бы в постепенном переходе лишних стержней в пластическое состояние с сохранением в них постоянного предельного усилия.
Уже ряд ранее опубликованных работ установил ошибочность такого подхода. Из работ проф. И. М. Рабиновича, А. А. Гвоздева, Хвалла и др. бесспорно выяснилось, что для сжатых стержней нагрузка раньше или позже становится убывающей функцией
укорочения, а потому потерявший устойчивость сжатый стержень при дальнейшем росте нагрузки на ферму будет принимать все меньшее участие в работе фермы и к предельному для фермы состоянию придет с усилием, меньшим, чем его собственная максимальная несущая способность.
Однако перечисленные авторы не дали аналитических выражений для закона падения нагрузки в сжатом стержне, так как не оперировали с диаграммой Прандтля. Хвалла построил графики укорочений, аналогичные нашим, но основанные на истинных
диаграммах удлинений. Вопрос о том, какие графики «вернее», совершенно неправомочен, так как, разумеется, графики Хвалла для той именно партии стали, которой он пользовался, должны дать лучшее совпадение с действительностью. Степень же их пригодности для какой-либо другой партии или марки стали не более
очевидна, чем пригодность наших отвлеченных графиков. Здесь важно лишь то, что наш метод, как уже было указано выше, дает аналитические выражения для графиков укорочений, не встречающиеся у Хвалла и позволяющие построить общую теорию расчета статически неопределимых ферм.
Пусть дана произвольная статически неопределимая ферма с n лишними стержнями, несущая постоянную нагрузку Р постепенно возрастающей интенсивности. По мере роста нагрузки один стержень за другим будет выходить из упругой стадии
работы; растянутые стержни будут достигать пластического состояния, а сжатые будут терять устойчивость и переходить в предельное состояние. Стержни обоих типов назовем для краткости «выходящими».
Предельной для фермы нагрузкой Рпред будет та, при которой выйдет (n + 1)-й стержень.
Мы будем классифицировать фермы с точки зрения порядка чередования растянутых и сжатых стержней в числе выходящих и символически обозначать класс фермы последовательностью из n знаков плюс и минус, указывающих на порядок знаков выходящих стержней вплоть до превращения фермы в статически определимую.
Так, ферма с одним лишним стержнем может принадлежать к классу ( + ) или (—), фермы с двумя лишними стержнями образуют четыре класса: (++), ( + —), (—+) и (——). В общем случае ферма с n лишними стержнями может принадлежать к одному из 2-х различных классов.
Фермы разных классов различны с точки зрения своей работы и расчета. Если класс фермы обозначен серией одних только плюсов, т. е. все выходящие стержни растянуты, то ферма может быть рассчитана классическим способом предельных нагрузок с
использованием только одних уравнений равновесия. Если же обозначение класса содержит хотя бы один знак минус, т. е. среди выходящих стержней есть хотя бы один сжатый стержень, то уравнения равновесия становятся недостаточными для расчета и должны быть дополнены условиями совместности деформаций, число
которых равно числу минусов в классе фермы. Иными словами, статически неопределимая ферма, обозначенная серне» плюсов, является статически определимой при расчете по предельной стадии; наличие n минусов в классе фермы придает ей m-кратную статическую неопределимость при предельном расчете. Очевидно, m≤ n, где n — степень статической неопределимости при упругом расчете. Знак равенства имеет место для ферм, класс которых содержит только минусы.
Ясно, что класс характеризуется не одной только геометрической схемой фермы, но и нагрузкой. При разных видах загружения одна и та же ферма будет принадлежать к разным классам.
Эти предварительные соображения показывают, что с точки зрения трудоемкости расчета выгодно стремиться к уменьшению числа минусов в классе фермы. Поэтому в дальнейшем изложении будет особо разобран вопрос о возможности уничтожения минусов.