Cтержневые системы в сопромате

Статически неопределимые стержневые системы.
Основные сведении из теории

 

В сопромате рамой называют конструкцию, состоящую из стержней, которые работают, в основном, на изгиб и кручение. Рамы принято делить на плоские, плоско-пространственные и пространственные.


Плоской называется рама, у которой оси всех ее элементов и действующие нагрузки (включая реакции опор) лежат в одной плоскости. В этой же плоскости лежит одна из главных центральных осей каждого поперечного сечения.

Плоско-пространственной называется рама, оси всех элементов которой и одна из главных осей каждого поперечного сечения лежат в одной плоскости, а внешняя нагрузка - в перпендикулярной плоскости.

 

К пространственным относят все прочие виды рам.
Рамные конструкции, используемые в машиностроении, могут быть статически определимыми и статически неопределимыми.

 
Статически неопределимой называется такая рама, для которой опорные реакции и внутренние силовые факторы не могут быть найдены только из уравнений статики. При этом разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений равновесия определяет степень статической неопределимости рамы.


Число связей системы, при котором достигается ее кинематическая неизменяемость, называется необходимым числом связей. Для плоских систем необходимое число связей равно трем, для пространственных - шести. Всякая связь сверх необходимых называется дополнительной. Эти дополнительные связи и обуславливают статическую неопределенность системы, т.е. число дополнительных связей равно степени статической неопределимости.


Связи, наложенные на раму, делят на внешние и внутренние.


Под внешними понимают такие связи, которые накладывают ограничения на перемещения всей системы как жесткого целого.
Под внутренними связями понимают ограничения, накладываемые на взаимные смещения элементов рамы. Поясним сказанное на примере плоской рамы.

 

Рис.4.1


Рама, изображенная на рис.4.1,а является статически определимой, так как на нее наложены в точке а три связи, а внутренние силовые факторы в любом сечении могут быть определены но методу сечений. Заметим, что сечения B и C имеют возможность взаимного поворота и смещений по горизонтали и вертикали.


 Рама на рис.4.1,5 отличается от рамы на рис.4.1,а тем, что в точке d наложены еще две внешние связи. Общее число внешних связей стало равным 5, причем любые две из них могут рассматриваться как дополнительные. Кроме того, сечения В и С теперь не имеют возможности взаимного поворота и смещений но горизонтали и вертикали, так как в замкнутом контуре добавлены еще три внутренние связи, запрещающие взаимный поворот, взаимные горизонтальное и вертикальное перемещения. Таким образом, данная рама пять раз статически неопределима: два раза внешне и три раза внутренне.


Для решения статически неопределимых задач часто используется метод сил, заключающийся в замене дополнительных связей неизвестными силовыми факторами, которые определяются из условия отсутствия перемещений в направлении отброшенных связей. После нахождения неизвестных силовых факторов рама становится статически определимой, и внутренние силовые факторы определяются по методу сечений.
Перемещения в статически неопределимых системах так же, как и в статически определимых, могут быть определены по методу Мора — Верещагина перемножением эпюры от заданных сил на эпюру от единичного фактора, приложенного в направлении искомого перемещения с последующим делением результата перемножения на соответствующую жесткость. Если единичный фактор прикладывается к заданной статически неопределимой системе, то вновь возникает вопрос о раскрытии статической неопределимости. Однако этого можно избежать, если определять перемещения не в заданной, а в основной системе (а она статически определима), т.к. перемещения в заданной и основной системах одинаковы. Для определения перемещения можно использовать любую основную систему.


Для проверки полученного решения статически неопределимой задачи (суммарной эпюры) можно воспользоваться несколькими способами:

    1. Решать задачу заново, используя другую основную систему. Это наиболее трудоемкий способ проверки.

 

    1. Определить перемещение, заведомо равное нулю. С этой целью нужно перемножить суммарную эпюру на эпюру от единичного фактора, приложенного к основной системе в этом направлении. В частности, перемножение суммарной эпюры на любую единичную, использованную при раскрытии статической неопределенности, должно дать результат, равный нулю.

 

  1. Перемещения одних и тех же сечений (абсолютные или взаимные), вычисленные в различных основных системах, должны быть равными.

 

Rambler's Top100